Kugel

Kugel (griech. Sphära), in der Geometrie eine allseitig geschlossene krumme Fläche, deren sämtliche Punkte von einem festen Punkte des Raumes (dem Mittelpunkt oder Zentrum) gleichweit entfernt sind (gleichen Abstand haben). Häufig bezeichnet man auch den von der K. eingeschlossenen Raum als K. und nennt dann die Fläche Kugelfläche. Der Abstand des Mittelpunktes von den Punkten der Kugelfläche ist der Halbmesser (lat. Radius) der K., man nennt aber wie beim Kreis (s. d.) auch jede der gleich langen Geraden, die den Mittelpunkt mit den Punkten der Kugelfläche verbinden, einen Halbmesser (Radius) der K. Kugeln mit demselben Mittelpunkt heißen konzentrisch, solche mit verschiedenen Mittelpunkten exzentrisch. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte zweier exzentrischer Kugeln heißt deren Zentrale. Eine K. vom Halbmesser r wird von jeder durch den Mittelpunkt gehenden Ebene in zwei gleiche Halbkugeln zerlegt und in einem Kreis vom Halbmesser r geschnitten, alle diese Kreise sind kongruent und heißen die größten Kreise (Hauptkreise) der K. Ist E eine nicht durch den Mittelpunkt gehende Ebene, so denke man sich vom Mittelpunkt M aus das Lot auf E gefällt, dessen Fußpunkt A sei. Ist die Länge MA=d dieses Lotes kleiner als der Halbmesser r, so schneidet E die K. in einem der kleinen Kreise (Nebenkreise), der den Mittelpunkt A und den Halbmesser √(r²-d²) hat. Wird d = r, so schrumpft dieser Kreis in den Punkt A zusammen, der auf der Kugelfläche liegt, man sagt dann: E berührt die K. in dem Punkt A, oder E ist die zu A gehörige Tangentialebene der K., die Tangentialebene steht also auf dem vom Mittelpunkt nach dem Berührungspunkt gezogenen Halbmesser senkrecht. Ist d größer als r, so schneidet E die K. überhaupt nicht. Eine gerade Linie schneidet die K. höchstens in zwei Punkten, geht sie durch den Mittelpunkt, so ist das im Innern der K. liegende Stück von ihr doppelt so groß als der Halbmesser und heißt ein Durchmesser der K. Von zwei Punkten der K., die Endpunkte eines Durchmessers sind, heißt jeder der Gegenpunkt des andern. Durch zwei Punkte A und B der Kugelfläche, die keine Gegenpunkte sind, laßt sich nur ein größter Kreis legen; die beiden Punkte zerlegen diesen Kreis in zwei Teile, von denen der kleinere die kürzeste Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten ist, die man auf der Kugelfläche ziehen kann, er heißt deshalb der sphärische (geodätische) Abstand der beiden Punkte A und B. Ist r der Kugelhalbmesser und bilden die beiden vom Kugelmittelpunkt aus nach A und B gezogenen Halbmesser einen Winkel von α Grad miteinander (dabei ist der Winkel gemeint, in dessen Öffnung der sphärische Abstand fällt), so ist der sphärische Abstand von A und B gleich 1/180 αrπ (s. Kreis); man braucht daher, um ihn zu bestimmen, bloß den Winkel α anzugeben und bezeichnet häufig geradezu diesen Winkel als ihren sphärischen Abstand. Um die Lage eines Punktes auf der Kugelfläche zu bestimmen, denkt man sich die K. dadurch entstanden, daß man einen Halbkreis (einen halben größten Kreis) um seinen Durchmesser dreht. Diesen Durchmesser nennt man dann die Achse der K. und deren beide Endpunkte die Pole. Jeder Punkt des sich drehenden Halbkreises beschreibt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene auf der Achse senkrecht steht. Man nennt diese Kreise Parallelkreise, weil ihre Ebenen zueinander parallel sind, sie sind sämtlich kleine Kreise, nur einer unter ihnen, der seinen Mittelpunkt im Kugelmittelpunkt hat, ist ein größter Kreis und heißt der Äquator. Die verschiedenen Lagen des sich drehenden Halbkreises nennt man Meridiane. Jeder Punkt der Kugelfläche ist dann bestimmt, wenn man den Meridian und den Parallelkreis kennt, auf dem er liegt. Einen Meridian bestimmt man dabei durch den Winkel, den seine Ebene mit der Ebene eines beliebig gewählten, des Anfangsmeridians, bildet; dieser Winkel bestimmt zugleich den zwischen beiden Meridianen liegenden Bogen des Äquators und heißt die Länge der auf jenem Meridian liegenden Punkte. Anderseits ist für alle Punkte eines Parallelkreises ihr sphärischer Abstand von einem beliebig gewählten der beiden Pole gleich und heißt ihre Poldistanz. Ein Punkt der Kugelfläche ist daher bestimmt, wenn man seine Länge und seine Poldistanz kennt, beide in Graden oder einem andern Winkelmaß ausgedrückt (s. Winkel). Statt der Poldistanz benutzt man dabei häufig die Breite, so nennt man den in Graden ausgedrückten Meridianbogen, der von dem betrachteten Punkte bis zum Äquator reicht. Die Breite ergänzt die Poldistanz zu 90°, sie muß daher negativ genommen werden für alle Punkte, die nicht auf derselben Seite des Äquators liegen, wie der Pol, von dem aus die Poldistanzen gerechnet werden. Länge und Breite als Koordinaten (s. d.) auf der K. sind zuerst von Hipparch eingeführt, um die Punkte auf der Himmelskugel festzulegen; in der Geographie benutzt man sie zur Bestimmung der Punkte auf der Erdoberfläche. Zwei Parallelkreise begrenzen auf der Kugelfläche eine Zone, ihre Ebenen schneiden aus der K. eine körperliche Zone aus. Höhe der Zone ist das Stück der Achse zwischen beiden Parallelkreisen. Schrumpft der eine Parallelkreis in einen Punkt (den einen Pol) zusammen, so geht seine Ebene in die zu dem Pol gehörige Tangentialebene über, und man nennt die Zone dann Kalotte (Kugelhaube), die körperliche Zone Kugelabschnitt (Kugelsegment). Dreht sich ein Kreissektor (s. Kreis) um einen seiner Halbmesser, so entsteht ein Kugelsektor, der von einem Kegelmantel (s. Kegel) und von einer Kalotte begrenzt wird. Ähnlich erhält man einen Kugelabschnitt, wenn sich ein Kreisabschnitt um den durch die Mitte seiner Sehne gehenden Durchmesser dreht. Zwei von einem Punkt A der Kugelfläche ausgehende Bogen größter Kreise bilden auf der Kugelfläche einen Winkel miteinander, den man gleich dem Winkel zwischen ihren Ebenen setzt; sie treffen, wenn man sie verlängert, in dem zu A gehörigen Gegenpunkte A¹ zusammen, und zwar sind die zwischen A und A¹ liegenden Bogen Halbkreise. Der von diesen Halbkreisen eingeschlossene Teil der Kugelfläche heißt Kugelzweieck (auch wohl Kugelwinkel), er verhält sich zur ganzen Kugelfläche, wie jener Winkel in Graden ausgedrückt sich zu 360 verhält. Verbindet man drei Punkte auf der Kugelfläche durch Bogen größter Kreise, so erhält man ein sphärisches oder Kugeldreieck; die Winkel zwischen diesen Bogen sind die Winkel des Dreiecks und die in Graden ausgedrückten Längen der Bogen (die sphärischen Abstände zwischen den drei Punkten) sind die Seiten des Dreiecks. Da die Kugelfläche bei jeder Drehung um einen ihrer Durchmesser nur in sich verschoben wird, so kann auch jedes sphärische Dreieck auf der Kugelfläche verschoben werden, ohne daß es seine Gestalt und Größe ändert. Man kann deshalb auch bei sphärischen Dreiecken von Kongruenz (s. d.) sprechen und überhaupt der Geometrie in der Ebene eine Geometrie auf der Kugelfläche (sphärische Geometrie, Sphärik) an die Seite stellen. Dieselbe Rolle wie die Geraden in der Ebene spielen auf der Kugelfläche die größten Kreise, aber während in der Ebene zwei verschiedene Gerade entweder nur einen Punkt gemein haben oder gar keinen (das letztere, sobald sie zueinander parallel sind), haben zwei größte Kreise auf der K. stets zwei Punkte gemein, der Fall des Parallelismus kommt also gar nicht vor. Ferner ist die Winkelsumme im geradlinigen Dreieck gleich zwei Rechten, aber jedes sphärische Dreieck hat eine Winkelsumme größer als zwei Rechte, und der Überschuß seiner Winkelsumme über zwei Rechte heißt sein sphärischer Exzeß. Durch drei seiner Stücke (Seiten oder Winkel) ist ein sphärisches Dreieck im allgemeinen eindeutig bestimmt, die Bestimmung der drei übrigen Stücke lehrt die sphärische Trigonometrie.

Für eine K. vom Halbmesser r gelten folgende Formeln: 1) Die Oberfläche der ganzen K. ist 4r²π, also viermal so groß als die Fläche eines größten Kreises (über π s. Kreis). 2) Die Oberfläche einer Zone und einer Kalotte von der Höhe h ist 2rπh. 3) Die Fläche eines Zweiecks, dessen Winkel α Grade mißt, beträgt ¹/₉₀r²πα. 4) Die Fläche eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln α, β, γ ist: ¹/₁₈₀(α+β+γ-180) r²π (Girard 1629). 5) Der Rauminhalt der ganzen K. ist ⁴/₃r³π. 6) Ein Sektor, dessen zugehörige Kalotte die Höhe h hat, und ein Kugelabschnitt von der Höhe h haben die Rauminhalte ²/₃r²πh und h²π(r-¹/₃h). Alle diese Formeln, mit Ausnahme von 4), rühren von Archimedes her. 7) Eine körperliche Zone von der Höhe h, die von zwei auf derselben Seite des Äquators liegenden Parallelkreisen mit den Halbmessern a und b begrenzt wird, hat den Rauminhalt ¹/₆π (3a²+3b²+h²). Näheres über die K. und über die Geometrie auf der Kugelfläche in den Lehrbüchern der Stereometrie und der sphärischen Trigonometrie, z. B. Holzmüller, Elemente der Stereometrie, Bd. 1 und 2 (Leipz. 1899 u. 1900); Hammer, Trigonometrie (2. Aufl., Stuttg. 1897).

Oft erscheint die K. als Symbol der Erdkugel, mit einer Siegesgöttin geschmückt, unter den Füßen des römischen Adlers, in späterer Zeit ein Kreuz tragend. Diese Erdkugel mit und ohne Kreuz bildete sich allmählich als Reichsapfel aus, und so erscheint sie in der Hand der deutschen Kaiser etc. und in vielen neuern Wappen. – Als Geschoß kommt die K. nur noch als Füllkugel von Streugeschossen (Schrapnells, Kartätschen) vor.

Technische Verwendung und Herstellung.

Die K. findet als Vollkugel und als Hohlkugel außerordentlich häufige Verwendung und wird fast aus allen festen Stoffen (Metall, Holz, Horn, Elfenbein, Stein, Glas, Ton, Porzellan, Zement, Papier, Kautschuk etc.) hergestellt.

Fig. 1. Kugeldrehbank.

Vollkugeln erhält man durch Gießen, in Formen (Gußeisen, Bronze, Messing, Zinn, Blei, Zement etc.), mitunter unter Anwendung besonderer Hilfsmittel (s. Schrot); durch Pressen in kaltem und heißem Zustande (Bleikugeln aus Bleistangen, Glas in Klappform oder Zangen), oft in Verbindung mit Umwandlungsprozessen (Kautschuk mit Vulkanisieren, Ton mit nachherigem Brennen u. dgl.); durch Drehen auf der Drehbank (Metalle, Holz, Horn, Elfenbein etc.) zweckmäßig mit einem Kugelsupport (bei dem der Schneidstahl sich halbkreisförmig um das sich drehende Arbeitsstück herumbewegt) oder mit halbkreisförmigem Schneidstahl; durch Abschleifen mittels Herumrollen in Rollfässern (Steine, s. Klicker).

Fig. 2. Kugelkräse.

Eine besonders große Bedeutung haben in neuester Zeit Stahlkugeln für Kugellager gefunden. Sie müssen vollständig rund, poliert, glashart und im Durchmesser (für Fahrräder 5–6 mm) durchaus gleich sein. Die rohe Kugelform wird auf einer Drehbank aus der vollen Stahlstange mittels eines Façonstahls hergestellt, der halbrunde Schneiden hat, höchst zweckmäßig aber als kreisrunde Scheibe mit halbrunden Einschnitten an dem Umfang angefertigt und in einer besondern Maschine (Fig. 1) von Fries u. Hopfinger in Schweinfurt zur Wirkung gebracht wird. Auf der durch Riemenscheiben r in Umdrehung versetzten Spindel i sitzt ein Messerkopf g, der drei Schneidscheiben m mit halbrunden Einschnitten in Kreisbewegung um die Stahlstange zum Angriff bringt, während diese durch den Backen a vorgeschoben wird.

Fig. 3. Kugelschleifmaschine.

Durch diesen Vorschub erhalten die Schneidscheiben zugleich Drehung um ihre Achse und erzielen damit ein ununterbrochenes Abdrehen und Abstechen von Kugeln, die durch den Trichter b in einen Behälter fallen. Statt Schneidstähle verwendet man auch Fräsen (Fig. 2) mit vier Rillen 1, 2, 3, 4, die aus der durch den Gegenhalter e und das federnde Futter c gestützten Stange in vier Abstufungen die Kugeln erzeugen. Große Kugeln werden in Gesenken vorgeschmiedet. Die Rohkugeln gelangen sodann zur Erzielung vollständiger Rundung und Glätte auf Schleif- und Poliermaschinen verschiedener Konstruktion. Eine gewöhnliche Maschine dieser Art (Fig. 3) besteht aus zwei wagerechten Ringen a und b aus künstlicher Schleifmasse oder Holz, Metall etc. mit aufgetragenem Schleifpulver, die sich schnell entgegengesetzt drehen und die in den runden Rinnen gelegenen Kugeln abschleifen. Um hierbei die Kugeln nach allen Richtungen ins Rollen zu bringen, ist der untere Schleifring b in zwei Hälften (c d) geteilt, die sich gegeneinander bewegen.

Fig. 4. Maschine zur Prüfung der Kugelform. e Obere Ansicht der ersten Schienen und Bogenstücke.

Zu dem Zwecke sitzt die Hälfte d mit dem Ringe a auf der gemeinschaftlichen Welle e, die von dem Kegelzahnrad 1 angetrieben wird, während die Ringhälfte c auf einer Büchse n befestigt ist, die von dem Kegelzahnrad 2, also in entgegengesetzter Richtung, Drehung erhält. Sollen die Ringe als Fräsen wirken, so macht man sie aus Stahl und versieht die Rinnen mit einem Feilenhiebe. Bei andern Schleifmaschinen werden die Kugeln in Rinnen an runden drehenden Schleifsteinen entlang geführt. Nach dem Schleifen erfolgt die erste Sortierung der Kugeln unter Ausscheidung der sogen. dreieckigen Kugeln, die an Lichtreflexen erkannt und oft noch mittels Magnetstäben aus der ausgebreiteten Menge herausgeholt werden. Auch benutzt man Maschinen, denen die Tatsache zugrunde liegt, daß vollkommen runde Kugeln unter gleichen Verhältnissen auf einer schrägen, durchaus glatten Fläche stets denselben Weg hinabrollen, während unrunde diesen Weg verlassen. Eine bewährte Maschine dieser Art von Meltzer in Ratibor besteht (Fig. 4, S. 769) aus einem Kugelbehälter B, in dessen geschlitztem Boden ein Schöpfrad a liegt, das, durch eine Schnur b angetrieben, die Kugeln einzeln ergreift und in die Rinne c legt. Aus dieser Rinne rollen sie über Schienen und an Bogenstücken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 entlang, um zuletzt, wenn sie rund sind, in die Abteilung d des Kastens D zu fallen. Jede unrunde Kugel dagegen weicht von dem Weg ab und fällt, da die Wegschiene nur 1¹/₂mal so breit wie der Kugeldurchmesser ist, über den Schienenrand in die Abteilung e des Kastens D. Stark unrunde Kugeln laufen schon auf der ersten oder zweiten Schiene ab und gelangen, durch Glasplatten geführt, in getrennte Schubfächer unterhalb des Kastens D.

Fig. 5. Härteprüfer.

Nach der Prüfung auf die Form erfolgt das Polieren mit Schmirgel oder Polierrot in Poliertonnen oder häufiger zwischen Hartgußplatten mit halbkreisförmigen Ringrillen (ähnlich denjenigen in Fig. 3), von denen die obere Platte sich dreht, während die untere festliegt. Auf das Polieren folgt das Härten mit der Vorsicht, daß sich kein Glühspan bildet. Aus dem Grunde benutzt man als Härteflüssigkeit Öl. Das Erwärmen findet unter möglichstem Luftabschluß in Gefäßen statt, aus denen die Kugeln direkt in das kalt gehaltene Öl fallen. Ein Härteofen besteht der Hauptsache nach aus einem sich drehenden Doppelrohr, das in einer Muffel von feuerfestem Material durch Gasfeuerung erhitzt wird.

Fig. 6. Kugelsortiermaschine.

Die Kugeln werden regelmäßig dem innern Rohr an einem Ende zugeführt und fallen am andern Ende in das äußere Rohr, um in diesem wieder an das erste Ende zurückzugelangen und glühend durch einen Trichter in die Härteflüssigkeit zu fallen. Zur Förderung der Bewegung erhalten beide Rohre entgegengesetzt verlaufende schraubenförmige Querwände, längs denen infolge der Drehung die Kugeln fortrollen. Härte und Zähigkeit sind die wichtigste Eigenschaft der Kugeln, die wesentlich vom Härten abhängt und für jede K. festgestellt werden muß. Man benutzt dazu die Höhe, um welche die auf eine glasharte Fläche auffallende K. wieder aufspringt; nicht genügend beschaffene Kugeln bleiben unter dieser Sprunghöhe. Eine hierzu dienende Vorrichtung zeigt Fig. 5. Aus dem Vorratskasten a werden die Kugeln durch die Hebevorrichtung h einzeln in die schräge Rinne b gehoben. In dieser Rinne rollen sie abwärts, fallen auf den glasharten Stahlklotz c und springen bei ausreichender Elastizität über die Schiene d in den Kasten e, während diejenigen mit ungenügender Elastizität vor dem Kasten niederfallen. Eine genaue Einstellung der Sprungschiene erfolgt mittels zweier Schrauben f, an denen sie hängt. Nach dem Härten erfolgt ein Polieren auf Hochglanz mit Polierrot in Trommeln und darauf ein Sortieren nach der Größe. Zum Sortieren dienen wagerechte Rinnen, die von zwei harten Stahlstäben (Fig. 6 L) gebildet werden, deren Abstand nach dem einen Ende zunimmt. Indem die Kugeln in diesen Rinnen rollen, fallen sie, je nach ihrer Größe, an verschiedenen Stellen zwischen diesen Stäben durch in untenstehende Behälter. Eim mit dieser Einrichtung versehene Sortiermaschine zeigt Fig. 6. Die in dem Behälter B befindlichen Kugeln werden durch den Schieber a einzeln auf die Oberkante der Stäbe bc gehoben, deren Abstand in der Richtung nach c sich vergrößert. Unter diesen Stäben befinden sich zum Auffangen der Kugeln zehn Gefäße g, da die Kugeln nach zehn Größen sortiert wer. den. Als Stäbe bc sind genau abgedrehte Zylinder gewählt, damit man nach merkbarer Abnutzung durch einfache Drehung derselben sofort diese Abnutzung ausgleichen kann. Unter den Zylindern liegt eine Schiene h, die von einer Kurbelscheibe e aus gehoben und gesenkt wird und den daran befestigten Schieber a bewegt. Gleichzeitig bewegt sich mit dieser Schiene h ein langes Messer ii zwischen den Meßzylindern, um die eingeklemmten Kugeln frei zu machen. Die fertigen Kugeln dürfen höchstens um ¹/₄₀₀ mm nach oben und unten von der mittlern Größe abweichen, so daß der Unterschied zwischen der größten und der kleinsten K. eines Lagers höchstens ¹/₂₀₀ mm beträgt.

Hohlkugeln, die leichtei sind als Vollkugeln und daher entsprechend weniger Material zur Anfertigung benötigen, erzeugt man durch Gießen über Kernen (s. Gießerei, S. 833), aus Blech durch Drücken, Treiben, Pressen von Halbkugeln oder Kugelsegmenten und Vereinigung dieser Teile durch Falzen, Löten, Schrauben, Nieten; aus Holz etc. durch Drehen von Halbkugeln, die zusammengeleimt oder an der Vereinigungsstelle ineinander gesteckt oder gedreht werden, oft mit Bajonettverschluß; aus Glas durch Blasen in eine Form; aus Papiermasse, z. B. zu Erdgloben, durch Pressen und Zusammenleimen von Kugelhälften; aus Kautschuk. Kleine Metallhohlkugeln zu K. – oder Perlketten gewinnt man in einem Stück am besten aus Röhren, die auf der Drehbank in kurzen Stücken unter gleichzeitigem Zusammendrücken abgestochen werden. Große Metallhohlkugeln, z. B. auf Türmen etc., bestehen gewöhnlich aus zusammengenieteten kupfernen Kugelsegmentstreifen mit inwendig eingebautem eisernen Gerüst. Die größte K. dieser Art befand sich auf der Pariser Weltausstellung 1900 als Himmelskugel. Sie hatte 40 m Umfang und wog 10,000 kg.