Trigonometrie

Trigonometrie (griech., Dreiecksmessung), der Teil der Geometrie, der aus drei Stücken, die ein Dreieck vollständig bestimmen, die übrigen Stücke des Dreiecks berechnen lehrt. Als Hilfsmittel hierzu dienen die goniometrischen (trigonometrischen) Funktionen, die den Zusammenhang zwischen den Seiten und den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks ausdrücken. Um den Sinn dieser Funktionen zu verstehen, denke man sich einen Winkel u dadurch entstanden, daß sich sein einer Schenkel um den Scheitel O dreht; der Winkel werde überdies positiv oder negativ gerechnet, je nachdem der sich drehende Schenkel (der erste Schenkel des Winkels) den Winkelraum entgegengesetzt der Bewegung eines Uhrzeigers oder im Sinne dieser Bewegung überstreicht.

Fig. 1.

Demnach ist in Fig. 1 der spitze Winkel A O P positiv, der spitze Winkel A O S dagegen negativ, wenn jedesmal O A als erster Schenkel betrachtet wird. Unter dieser Voraussetzung läßt sich dann die Größe jedes Winkels durch eine bestimmte positive oder negative Zahl ausdrücken (s. Winkel). In einem Kreise um O (Fig. 1) sind zwei zueinander senkrechte Durchmesser gezogen, der horizontale (wagerechte) A' A und der vertikale (lotrechte) B' B. Fällt man von P aus die Lote: P C auf A' A und P D auf B' B, so erhält man die Horizontalprojektion O C und die Vertikalprojektion O D des Radius (Halbmessers) O P, der zugleich der zweite Schenkel des Winkels u = A O P ist. Die horizontale Projektion O C wird positiv gerechnet, wenn sie rechts von O liegt, die vertikale O D, wenn sie über O liegt, im entgegengesetzten Falle sind beide negativ. Man versteht nun unter dem Sinus von u, geschrieben: sinu, den Bruch, dessen Zähler die Vertikalprojektion des zweiten Schenkels, dessen Nenner dieser Schenkel selbst ist, und unter Kosinus von u, cosu, den Bruch, dessen Zähler die Horizontalprojektion jenes Schenkels, dessen Nenner wieder dieser Schenkel ist; also ist:

Dabei wird der im Nenner stehende Radius O P stets positiv gerechnet, während die Vorzeichen von O D und O C nach der vorhin angegebenen Regel zu bestimmen sind. Die Zahlenwerte der Brüche, durch die sinu und cosu dargestellt sind, ändern sich nicht, wenn man statt des Kreises mit dem Halbmesser O P einen beliebigen andern Kreis um O wählt, sinu und cosu hängen daher nur von der Größe und von dem Vorzeichen des Winkels u ab. Neben sinu und cosu braucht man noch die Tangente (tgu, tangu, tanu) und die Kotangente (cotu) und zwar ist:

Die Sekante (secu) und die Kosekante (cosecu), die bez. gleich ¹/_cosu und gleich ¹/_sinu sind, werden fast gar nichtmehr benutzt, und ganz ungebräuchlich geworden sind der Cosinus versus (cosversu = 1 – sinu) und der Sinus versus (sinversu = 1 – cosu). Aus den gegebenen Erklärungen ist ersichtlich, daß sinu und cosu stets zwischen -1 und +1 liegen, während tgu und cotu jeden beliebigen positiven oder negativen Wert annehmen können. Ferner erkennt man aus Fig. 1, daß jede der goniometrischen Funktionen den Zahlenwert, den sie für einen spitzen Winkel u = A O P hat, auch für die Winkel 180°- u = A O Q, 180°+u = A O R und 360° – u = A O S hat, wenn man vom Vorzeichen absieht. Das Vorzeichen aber ist aus der folgenden Tabelle zu ersehen:

es bleibt also innerhalb jedes der vier Quadranten (so nennt man die vier Winkelräume von 0–90°, von 90–180° etc.) unverändert. Man braucht demnach die Werte der trigonometrischen Funktionen nur für die Winkel des ersten Quadranten zu kennen. Man findet diese Werte oder vielmehr ihre Logarithmen in jeder Sammlung logarithmischer Tafeln (s. Logarithmus). Die Untersuchung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen ist Gegenstand der Goniometrie. Hier sei nur bemerkt, daß der sinus und der cosinus eines Winkels ungeändert bleiben, wenn der Winkel um ein beliebiges Vielfaches von 360° vermehrt oder vermindert wird, während tgu und cot u schon dann ungeändert bleiben, wenn u um ein Vielfaches von 180° vergrößert oder verkleinert wird. Man sagt deshalb, daß die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, und zwar haben sinu und cosu eine Periode von 360°, tgu und cotu eine Periode von 180°. Benutzt man das in der höhern Mathematik gebräuchliche Winkelmaß (s. Winkel), so sind die betreffenden Perioden = 2π und π. Endlich sei noch erwähnt, daß für jeden beliebigen Winkel α die Gleichungen:

sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα

gelten und für zwei beliebige Winkel α und β die Gleichungen:

sin(α+β) = sinα cosβ+cosα sinβ,

cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ.

Eine graphische Darstellung der Funktionen sin und tg erhält man, wenn man in den Gleichungen: y = sinx und y = tgx die Veränderlichen x und y als

Fig. 2. Die Kurven y = sinx und y = tgx.

rechtwinklige Koordinaten (s. d.) von Punkten der Ebene deutet. Vgl. Fig. 2, wo der Winkel x in dem vorhin erwähnten Winkelmaß ausgedrückt ist. Die Kurve: y = sinx bildet einen zusammenhängenden Linienzug.

Fig. 3.

Die Kurve y = tgx besteht aus lauter kongruenten, untereinander nicht zusammenhängender Stücken. Im rechtwinkligen Dreieck (Fig. 3) ist der Sinus eines der beiden spitzen Winkel immer gleich der gegenüberliegenden Kathete dividiert durch die Hypotenuse, der Kosinus gleich der anliegenden Kathete durch die Hypotenuse, die Tangente gleich der gegenüberliegenden Kathete durch die anliegende, also:

Verbindet man diese Gleichungen mit dem Pythagoreischen Satze: c² = a²+b², der zu der immer gültigen Gleichung: (sinα)²+(cosα)² = 1 führt, und mit der Gleichung: β = 90° – α, so kann man aus je drei Stücken des rechtwinkligen Dreiecks die fehlenden berechnen. In einem schiefwinkligen Dreieck mit den Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ, (Fig. 4) dienen zur Berechnung fehlender Stücke die beiden Formeln: a² = b²+c² – 2 bc cosα und asinβ – bsinα = 0 und die vier andern, die daraus durch Vertauschung der Buchstaben entstehen.

Fig. 4.

Die erste Formel (der sogen. Kosinussatz, eine Erweiterung des Pythagoreischen Satzes) lehrt aus zwei Seiten b, c und dem eingeschlossenen Winkel α die dritte Seite a finden, aber auch aus den drei Seiten a, b, c den Winkel α. Gewöhnlich ersetzt man sie aber durch andre Formeln, die bei der Benutzung der Logarithmentafeln bequemer sind. Die zweite Formel, der sogen. Sinussatz, sagt aus, daß sich die Seiten a, b zueinander verhalten wie die Sinus der gegenüberliegenden Winkel α, β, und wird in Verbindung mit der Gleichung: α+β+γ = 180° dann angewendet, wenn sich unter den bekannten Stücken zwei einander gegenüberliegende befinden. Das hier Angedeutete bildet den Inhalt der ebenen T., an die sich die Polygonometrie, die Berechnung der ebenen Polygone, anschließt. Die sphärische T. hat es mit der Berechnung der sphärischen Dreiecke zu tun, die von den Bogen größter Kreise auf einer Kugelfläche gebildet werden. Die Seiten eines solchen Dreiecks mißt man durch die Längen der Kreisbogen, aus denen es besteht. Als Winkel des Dreiecks betrachtet man die Winkel zwischen den durch den Mittelpunkt der Kugelfläche gehenden Ebenen, die auf der Kugelfläche die Seiten des Dreiecks ausschneiden. Die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln werden ebenfalls mit Hilfe der vorhin besprochenen trigonometrischen Funktionen ausgedrückt. Um die Berechnung der fehlenden Stücke eines sphärischen Dreiecks für die Anwendung von Logarithmen bequemer zu gestalten, hat man gewisse Formeln aufgestellt, unter denen die Neperschen Analogien und die Gaußschen Formeln besonders wichtig sind. Da die Erde keine genaue Kugel ist, sondern ein sogen. Sphäroid, so hat man unter dem Namen sphäroidische T. eine Erweiterung der sphärischen T. ausgebildet, die sich mit den Dreiecken auf dem Sphäroid beschäftigt. Die Astronomen des Altertums bestimmten den Winkel durch seine Sehne (s. Sekante), also z. B. den Winkel SOP in dem Kreise mit dem Halbmesser OA durch die Sehne SP; in dem »Almagest« des Ptolemäos ist sogar eine Sehnentafel enthalten, in der die Sehnen aller Winkel von halben zu halben Graden angegeben sind. Sinus, Kosinus und Tangente finden sich zuerst bei den Arabern, von denen sie zu den abendländischen Mathematikern gelangt sind. Jedoch faßten die Araber den Sinus etc. als absolute Längen auf, nicht als Quotienten je zweier Längen. Die heutige Auffassung der trigonometrischen Funktionen rührt in der Hauptsache von Euler (s. d. 1) her, der auch zuerst die sphärische T. im Zusammenhang entwickelt hat. Vgl. Grunert, Elemente der ebenen, sphärischen und sphäroidischen T. (Leipz. 1837); T. Dienger, Handbuch der T. (3. Aufl., Stuttg. 1867); Mehler, Hauptsätze der Elementarmathematik (24. Aufl., Berl. 1905); Kleyer, Lehrbuch der ebenen T. (Stuttg. 1888); Laska, Lehrbuch der sphärischen T. (das. 1890); Servus, Ausführliches Lehrbuch der Stereometrie und sphärischen T. (Leipz. 1891), Lehrbuch der ebenen T. (Berl. 1897) und Trigonometrisches Nachschlagebuch (das. 1897); Hammer, Lehr- und Handbuch der ebenen und sphärischen T. (3. Aufl., das. 1907); Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der T. (Leipz. 1899–1903, 2 Bde.).