Graphische Statik

Graphische Statik (Graphostatik), die Lösung der Aufgaben der Statik, auf zeichnerischem Wege mittels Lineal, Zirkel und Maßstab anstatt durch Rechnung mit algebraischen Formeln. In einzelnen Fällen hatte man schon längst in der Mechanik von geometrischen Betrachtungen Gebrauch gemacht und allgemeine rechnerische Ergebnisse durch zeichnerische Darstellungen erläutert, wie bereits Newton (s. d.) das Parallelogramm der Kräfte zur Ermittelung der Mittelkraft von zwei an einem Punkt unter einem Winkel angreifenden Kräften in die Mechanik eingeführt hat. Die planmäßige Anwendung der zeichnerischen Darstellung anstatt der Rechnung zur Losung statischer Aufgaben des Bauwesens ist von K. Culmann (s. d.) in seinem Werk »Graphische Statik« (1. Teil, Zürich 1864) begründet worden, nachdem er schon seit 1860 in der Ingenieurabteilung des Polytechnikums in Zürich g. S. vorgetragen hatte. Die g. S. wird vorzugsweise angewendet zur Ermittelung der in den Gliedern von eisernen Brücken, Dachstühlen und ähnlichen Bauwerken eintretenden Beanspruchungen, zur Bestimmung des Erddruckes und zur Untersuchung der Standfestigkeit von Stützmauern und Gewölben, zur Bestimmung des Schwerpunktes, des Trägheitsmoments, der Zentralellipse und des Kerns von ebenen Figuren. Ein Hauptvorzug des zeichnerischen Verfahrens ist, daß die Lösung von der Regelmäßigkeit oder Unregelmäßigkeit der gegebenen Verhältnisse unabhängig ist, weshalb dasselbe sich zur Anwendung in verwickelten Fällen, z. B. Schwerpunktsbestimmung von unregelmäßigen Figuren, wobei eine genaue rechnerische Ermittelung kaum möglich ist, besonders empfiehlt. Weitere Vorzüge sind die Übersichtlichkeit und der Umstand, daß Fehler weniger leicht unbemerkbar bleiben, weil die Gesetzmäßigkeit in der Zeichnung durch einen gröbern Fehler gestört würde, während Fehler in der Berechnung sich nicht so leicht bemerkbar machen. Die Genauigkeit der zeichnerischen Lösung, die von der Geschicklichkeit des Zeichners und von der Wahl des Maßstabes abhängt, ist für alle praktischen Aufgaben genügend. Ganz besonders vorteilhaft ist die Anwendung des zeichnerischen Verfahrens in Verbindung mit der Rechnung und die Prüfung einer nach dem einen Verfahren durchgeführten Lösung durch das andre, z. B. die erste Ermittelung auf zeichnerischem Wege, die Probe mittels Rechnung. Die Kräfte werden in der graphischen Statik durch gerade Linien dargestellt; die Größe einer Kraft wird durch die Länge der Geraden, die Richtung der Kraft durch die Richtung der Geraden und ihre Lage durch einen beliebigen Punkt in der Geraden dargestellt. Da die Größe einer Kraft durch Gewichtseinheiten (Kilogramme oder Tonnen) gemessen wird, so muß die eine Kraft darstellende Strecke so viele Längeneinheiten enthalten, wie die Kraft Kilogramme oder Tonnen. Die Strecke wird gemessen durch den Kräftemaßstab, der für die praktische Anwendung zweckmäßig so angeordnet wird, daß einer Strecke von 1 cm Länge eine Kraft von m Kilogramm oder, m/1000 Tonnen entspricht. Ist z. B. 1 cm = 2000 kg = 2 t, so stellt eine Länge von 4,2 cm eine Kraft = 8400 kg = 8,4 t dar. Die Grundlage der ganzen graphischen Statik ist die Lehre von der Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte; zur Lösung der entsprechenden Aufgaben dienen der Kräftezug (Krafteck), der Seilzug (Seileck) und der Kräfteplan.

Die Mittelkraft R zweier an einem Punkt wirkenden Kräfte A B und A C (Fig. 1) erhält man als Diagonale A D des aus den beiden Kräften gebildeten Parallelogramms A B C D oder auch als dritte Seite AD des aus den beiden Kräften gebildeten Dreiecks ABD oder ACD.

Fig. 1.

Die Zerlegung einer Kraft R nach zwei gegebenen Richtungen geht aus der Figur ohne weiteres hervor. Die Mittelkraft einer beliebigen Anzahl von an einem Punkt in der Ebene wirkenden Kräften ABCDE (Fig. 2) erhält man dadurch, daß man, von einem beliebigen Punkt 1 ausgehend, durch Aneinanderreihung von nach Richtung und Größe diesen Kräften entsprechenden Geraden ein Vieleck 123456 (Fig. 3), genannt Kräftezug, zeichnet.

Fig. 2. Fig. 3.

Die Verbindung des Anfangspunktes 1 mit dem Endpunkt 6 ist die gesuchte Mittelkraft R mit der Richtung 1–6. Die Richtigkeit des Verfahrens geht aus dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte und der Figur 1 hervor. R₁ stellt die Mittelkraft der Kräfte A und B dar, R₂ ist die Mittelkraft von R₁ und der Kraft C, also die Mittelkraft der Kräfte A, B und C, R₃, ist die Mittelkraft von R₂ und Kraft D, also die Mittelkraft von A, B, C und D. R ist die Mittelkraft von R₃ und der Kraft E, also die gesuchte Mittelkraft der 5 Kräfte A, B, C, D und E. Punkt 1 heißt der Pol, die vom Pol ausgehenden Linien R₁, R₂, R₃ und R sind die Strahlen des Kräftezugs. Die Mittelkraft R »schließt« den Kräftezug und stellt in der Richtung 6–1 eine 6. Kraft vor, die mit den 5 ersten Kräften A, B, C, D, E im Gleichgewicht sich befindet. Die Mittelkraft dieser im Gleichgewicht sich befindenden Kräfte ist dann = Null. Sind die an einem Punkt wirkenden Kräfte nicht im Gleichgewicht, so schließt sich der aus ihnen gebildete Kräftezug nicht, und die Verbindungslinie vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt des Vielecks stellt die Mittelkraft nach Größe und Richtung dar.

Fig. 4. Fig. 5.

In welcher Reihenfolge die Kräfte zur Ermittelung der Mittelkraft aneinandergereiht werden, ist gleichgültig. Sollen beliebige, in der Ebene wirkende, aber nicht an einem Punkt angreifende Kräfte A, B, C, D, E (Fig. 4) zu einer Mittelkraft R zusammengesetzt werden, so bedient man sich hierzu des Seilzugs. Man setzt die Kräfte wie in Fig. 3 zu einem Kräftezug zusammen (Fig. 5), verbindet die Ecken desselben mit einem beliebigen Pol O und zeichnet den Seilzug I, II, III, IV, V dadurch, daß man mit den entsprechenden Polstrahlen Parallelen zieht. Durch den Schnittpunkt S der äußersten Seilzugseiten ist die Lage der Mittelkraft R der fünf Kräfte bestimmt; ihre Größe und Richtung ist dargestellt durch die Schlußlinie R im Kräftezug mit der Richtung 1–6. Wenn sowohl der Kräftezug als der Seilzug sich schließen, so sind die Kräfte im Gleichgewicht. Besonders bequem wird das Verfahren für die Zusammensetzung von parallelen Kräften und bei größerer Zahl derselben. Kräfte im Raum können in derselben Weise zusammengesetzt werden; es muß aber hierzu der Kräftezug in zwei verschiedenen Projektionen gezeichnet werden. Auf diesem Verfahren von der Zusammensetzung und der Zerlegung von Kräften beruht die Anwendung der graphischen Statik. Die Figuren 6 und 7 geben noch ein Beispiel über die Ermittelung der in den Gliedern eines eisernen Dachbinders durch die Belastung hervorgerufenen Spannungen: die auf die einzelnen Knotenpunkte treffende Belastung ist P = 800 kg.

Fig. 6.

Diese gegebenen Kräfte und die dadurch hervorgerufenen Auflagerwiderstände A und B setzt man zu einem Kräftezug zusammen und zerlegt für jeden Knotenpunkt die bekannten Kräfte, bez. deren Mittelkraft nach den Richtungen der noch unbekannten Kräfte dadurch, daß man Parallelen mit den betreffenden Gliedern zieht. Reiht man diese einzelnen Kräftezüge zusammen, so erhält man einen sogen. Cremonaschen Kräfteplan (s. Cremona, S. 341). Die im Kräfteplan mit den entsprechenden Gliedern des Dachbinders gleichbezeichneten Strecken stellen die in diesen Gliedern herrschenden Spannungen dar, die doppelten Linien zeigen Druck-, die einfachen Linien Zugspannungen an; bei farbiger Behandlung der Kräftepläne ist es üblich, die gegebenen äußern Kräfte durch schwarze, die Zugspannungen durch rote, die Druckspannungen durch blaue Linien zu bezeichnen.

Fig. 7.

Die g. S. wird auf den technischen Hochschulen und in elementarer Weise auch auf allen niedern technischen Schulen vorgetragen. Die Entwickelung der graphischen Statik wurde besonders gefördert durch Mohr, Cremona und Müller-Breslau. Vgl. Culmann, Die g. S. (2. Aufl., Bd. 1, Zürich 1875); Weyrauch, Über g. S. Zur Orientierung (Leipz. 1874); Bauschinger, Elemente der graphischen Statik (2. Aufl., Münch. 1880); Cremona, Le figure reciproche nella statica grafica (Mail. 1872); Levy, La statique graphique et ses applications aux constructions (2. Aufl., Par. 1886–87, 4 Bde.); H. Müller-Breslau, Die g. S. der Baukonstruktionen (3. Aufl., Leipz. 1901); Föppl, Vorlesungen über technische Mechanik, Bd. 2: G. S. (Leipz. 1900); Lauenstein, Die g. S. Elementares Lehrbuch (8. Aufl., Stuttg. 1903).