Bruchrechnung

Bruchrechnung, der Inbegriff der Regeln für das Rechnen mit Brüchen. Jeder unechte Bruch kann in die Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden, indem man die Division des Nenners in den Zähler ausführt und den Rest zum Zähler des echten Bruches wählt, z. B. ¹²/₅ = 2+ ²/₅, kürzer 2²/₅. Anderseits ist die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch als Bruch darstellbar, den Zähler des neuen Bruches erhält man, indem man den Zähler des alten um die mit dem Nenner multiplizierte ganze Zahl vermehrt: 3⁸/₇ = ^3.7+8/₇ = ²⁹/₇. Man kann einen Bruch, ohne seinen Wert zu ändern, erweitern, d. h. Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl multiplizieren (³/₄ = ^3.5/_4.5 = ¹⁵/₂₀), ferner kann man ihn, wenn es eine ganze Zahl gibt, durch die Zähler und Nenner beide teilbar sind (s. Division), verkürzen, d. h. Zähler und Nenner durch diese Zahl dividieren (⁶/₂₁ = ^2.3/_7.3 = ²/₇). Jede solche ganze Zahl ist ein gemeinsamer Teiler oder Faktor von Zähler und Nenner, und man sagt statt verkürzen auch, daß man den gemeinsamen Faktor weghebt. Brüche mit gleichen Nennern addiert man, indem man die Zähler addiert. Sind die Nenner verschieden, so sucht man zuerst den Generalnenner (Hauptnenner) der Brüche, d. h. die kleinste ganze Zahl, die durch jeden der auftretenden Nenner teilbar ist, bringt dann jeden Bruch durch Erweiterung auf diesen Generalnenner und addiert endlich die gefundenen Zähler. Hat man z. B. die Summe ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄, so ist 12 die kleinste durch 2,3 und 4 teilbare ganze Zahl, also der Generalnenner, und da ¹/₂ = ⁶/₁₂, ¹/₃ = ⁴/₁₂, ¹/₄ = ³/₁₂, so wird die Summe ¹³/₁₂ = 1¹/₁₂. Die Subtraktion von Brüchen wird ebenso ausgeführt. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert (dividiert), indem man den Zähler (Nenner) mit der ganzen Zahl multipliziert (³/₄.5 = ^3.5/₄ = ¹⁵/₄; ³/₄:5 = ³/_4.5 = ³/₂₀). Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert (³/₄.⁵/₇ = ^3.5/_4.7 = ¹⁵/₂₈). Ein Bruch wird durch einen andern dividiert, indem man bei dem Divisor Zähler und Nenner vertauscht und den so entstehenden Bruch mit dem Dividendus multipliziert (³/₄:⁵/₇ oder ^3/4/_5/7 = ³/₄.⁷/₅ = ^3.7/_4.5 = ²¹/₂₀ = 1¹/₂₀).

[Dezimalbruchrechnung.] Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln, dividiert man mit dem Nenner in den Zähler, hängt dem Rest eine Null an, dividiert wieder, hängt dem Rest wieder eine Null an und fährt so fort; hinter den Quotienten der ersten Division, der, wenn der gegebene Bruch echt ist, einfach gleich 0 zu setzen ist, bringt man das Dezimalzeichen (Komma) an und fügt dann die Quotienten der übrigen Divisionen der Reihe nach als Dezimalstellen hinzu. Kommt man niemals zu einer Division, die ausgeht, die also den Rest 0 liefert, so kann man den gegebenen Bruch nur durch einen niemals abbrechenden, unendlichen Dezimalbruch darstellen, z. B. ¹/₃ = 0,333..., ⁵/₆ = 0,8333... In diesem Falle muß man einmal bei der Division auf einen Rest stoßen, der schon früher dagewesen ist, und von da ab müssen auch die frühern Quotienten wiederkehren, so daß sich in dem Dezimalbruch von einer bestimmten Stelle an immer dieselbe Gruppe von Ziffern wiederholt, z. B. ⁵/₁₁ = 0,454545... Ein Dezimalbruch mit einer solchen immer wiederkehrenden Zifferngruppe (hier 45) heißt periodisch, die Zifferngruppe seine Periode; der Dezimalbruch ist rein periodisch, wenn die Periode gleich hinter dem Komma beginnt, wie bei 0,4545..., sonst unrein periodisch (⁵/₆ = 0,8333... ist unrein periodisch mit der Periode 3). Erhält man einen periodischen Dezimalbruch, so kann man den gegebenen Bruch näherungsweise darstellen, indem man den periodischen Dezimalbruch an irgend einer Stelle abbricht, nur muß man die letzte noch beibehaltene Ziffer um 1 erhöhen, wenn die darauf folgende weggelassene Ziffer größer als 4 ist; es ist also bis auf drei Dezimalstellen genau ¹/₆ = 0,167, bis auf 4 Stellen genau ⁵/₁₁ = 0,4545. Um einen endlichen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, läßt man das Komma weg und dividiert mit einer Zahl, die hinter 1 so viele Nullen hat, als Dezimalstellen vorhanden waren, endlich verkürzt man diesen Bruch, wenn es möglich ist, z. B. 1,625 = 1625/1000 = 65/40 = 13/8. Ein periodischer Dezimalbruch ist gleich der Summe aus dem endlichen Dezimalbrüche, der vor der Periode vorhergeht, und einem Bruche, dessen Zähler gebildet wird von den Ziffern der ersten Periode, während der Nenner die Zahl 9 so oft enthält, wie die Periode Ziffern hat, und hinter diesen Neunen so viele Nullen wie hinter dem Komma Ziffern stehen, die der ersten Ziffer der ersten Periode vorausgehen, z. B. 0,4545... = ⁴⁵/₉₉ = ⁵/₁₁; 1,44545... = 1,4 + 45/990 = 14/10 + 5/110 = 159/110. Dezimalbrüche addiert und subtrahiert man, indem man sie so untereinander schreibt, daß die Dezimalzeichen untereinander kommen und dann rechnet wie mit ganzen Zahlen, im Ergebnis ist das Dezimalzeichen unter die frühern zu setzen; man beachte dabei, daß man jedem Dezimalbruch rechts beliebig viele Nullen anhängen darf, ohne seinen Wert zu ändern. Auch bei der Multiplikation rechnet man mit den Dezimalbrüchen wie mit ganzen Zahlen, schneidet aber im Produkt von rechts nach links so viele Stellen durch das Komma ab, wie in den beiden Faktoren des Produkts zusammen vorhanden sind; enthält das Produkt so wenig Ziffern, daß links von dem so bestimmten Komma keine Ziffer mehr steht, so setzt man vor das Komma eine Null und ersetzt auch die etwa noch rechts vom Komma fehlenden Ziffern durch Nullen, z. B. 5,26. 1,254 = 6,59604; 0,25. 0,15 = 0,0375. Mit 10,100,1000 etc. multipliziert (dividiert) man einen Dezimalbruch, indem man das Komma umso viele Stellen nach rechts (links) rückt, wieder Multiplikator (Divisor) Nullen hat; etwa fehlende Stellen ergänzt man durch Nullen, z. B. 35,372. 10000 = 353720; 35,372: 10 = 3,5372; 35,372: 1000 = 0,035372. Um einen beliebigen Dezimalbruch in einen andern zu dividieren, hängt man dem Divisor oder dem Dividendus so viele Nullen an, daß beide gleich viele Dezimalen bekommen, und dividiert dann unter Weglassung des Kommas wie bei der Verwandelung eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezimalbruch, z. B. 0,001/0,3 = 0,001/0,300 = 1/300 = 0,00333...