Alligationsrechnung

Alligationsrechnung (Mischungsrechnung), die Berechnung der Qualität einer Mischung oder Legierung, die aus bekannten Mengen (Quantitäten) verschiedener Stoffe (Sorten) von verschiedenen. aber bekannten Qualitäten hergestellt ist. Unter Qualität eines Stoffes versteht man hierbei seinen Gehalt, sein spezifisches Gewicht etc., kurz das, wonach sich sein Preis richtet, oder auch den Preis selbst. Sind q₁, q₂, ... die Quantitäten der zu mischenden Stoffe, alle in derselben (Maß- oder Gewichts-) Einheit ausgedrückt, und a₁, a₂, ... der Reihe nach ihre Qualitäten, ebenfalls in derselben Einheit ausgedrückt, so ist q = q₁+q₂+ ... die Quantität der Mischung, und deren Qualität m bestimmt sich aus: a₁q₁+a₂q₂+ ... = m. q, d.h. die Qualität der Mischung erhält man, indem man für jeden einzelnen Stoff das Produkt aus Quantität und Qualität bildet und die Summe aller dieser Produkte durch die Summe der Quantitäten dividiert. Besteht die Mischung nur aus zwei Stoffen, so hat man die Gleichungen:

aus denen folgt:

und da q₁ und q₂ nicht negativ sein können, so müssen die drei Differenzen a₁-a₂, m-a₂, a₁-m entweder alle drei positiv oder alle drei negativ sein. Demnach liegt die Qualität m der Mischung stets zwischen a₁ und a₂, sie ist geringer als die der bessern der beiden gemischten Stoffe, aber besser als die der geringern. Die Gleichungen 2) lösen die Aufgabe, aus zwei Stoffen von bekannten Qualitäten a₁ und a₂ eine Mischung von bestimmter Qualität m und Quantität q herzustellen, dabei ist q beliebig wählbar, während in zwischen a₁ und a₂ liegen muß. Aus 1) folgt ferner:

man findet so, welche Quantität a₂ eines Stoffes von der Qualität a₂ man zu einem Stoffe von gegebener Quantität q, und Qualität a₁ hinzufügen muß, um eine Mischung von bestimmter Qualität m zu erhalten; auch hier muß m zwischen a₁ und a₂ liegen. Endlich folgt aus 1):

man findet so, von welcher Qualität a₂ ein Stoff sein muß, damit die Menge q₂ dieses Stoffes mit einem Stoffe von gegebener Qualität a, und Quantität q₁ gemischt eine Mischung von gegebener Qualität m liefert. Hier kann man m beliebig wählen, doch darf, wenn m kleiner als a, ist, mq₂ nicht kleiner als q₁ (a₁-m) gewählt werden, weil sonst a₂ negativ wird. Zur A. gehört auch die sogen. Kronenrechnung des Archimedes, bei der die Aufgabe zu lösen ist: eine Legierung zweier Metalle von den spezifischen Gewichten s₁ und s₂ hat das spezifische Gewicht t und wiegt p Kilogramme; wieviel Kilogramme x, des ersten und x₂ des zweiten Metalls sind darin enthalten? Da p/t die Größe des Raumes darstellt, den die Legierung einnimmt, und x₁/s₁, x₂/s₂ die Räume, die von den beiden Metallen eingenommen werden, so hat man: x₁+x₂ = p, x₁/s₁+x₂/s₂ = p/t, also:

Doch entspricht die Rechnung nicht genau der Wirklichkeit, da bei der Legierung die Rauminhalte der Metalle nicht ungeändert bleiben und also die Gleichung für p/t nur annähernd richtig ist.