Involution

Involution (lat., »Einwickelung, Einhüllung«), ein schon bei Desargues (1639) vorkommender, wichtiger Begriff der projektiven Geometrie. Sind auf einer Geraden zwei Punkte P und Q gegeben, so sagt man, daß der Inbegriff aller Punktepaare, die zu P und Q harmonisch liegen (s. Harmonische Teilung), eine I. von Punktepaaren bildet. Da zu jedem Punkt A der Geraden ein und nur ein Punkt A' von solcher Beschaffenheit gehört, daß das Punktepaar A, A' zu dem Punktepaar P, Q harmonisch liegt, und da umgekehrt zu A' in demselben Sinne wieder der Punkt A gehört, so ist hierdurch zwischen den Punkten der Geraden eine sogen. involutorische Beziehung hergestellt, bei der jedem Punkt A der Geraden ein ganz bestimmter Punkt A' entspricht derart, daß jedesmal dem Punkt A' wieder der Punkt A entspricht. Fällt A mit P (mit Q) zusammen, so fällt auch A' mit P (mit Q) zusammen, jeder der beiden Punkte P und Q entspricht daher sich selber, und deshalb nennt man P und Q die Doppelpunkte (Doppelelemente) der I. Denkt man sich umgekehrt zwei Punktepaare A, A' und B, B' der Geraden gegeben, so ist dadurch immer eine I. von Punktepaaren bestimmt, der die beiden gegebenen Punktepaare angehören. Alle andern Punktepaare dieser I. erhält man, wenn man außerhalb der Geraden einen beliebigen Punkt C annimmt, den zweiten Schnittpunkt D der beiden durch C, A, A' und durch C, B, B' gehenden Kreise aufsucht und dann alle Punktepaare konstruiert, in denen die Gerade von den durch C und D gehenden Kreisen geschnitten wird. Gibt es unter diesen Kreisen solche, die die Gerade berühren, so sind die zugehörigen Berührungspunkte die Doppelelemente der I. und die I. heißt hyperbolisch; gibt es keine berührenden Kreise, so hat die I. keine reellen Doppelelemente und heißt elliptisch. Näheres in den Lehrbüchern der projektiven (synthetischen) Geometrie (s. d.). – In der Medizin bedeutet I. (involutio senilis) die Rückbildung des Körpers im höhern Alter. Vgl. Altersschwäche.