Exponentiālfunktion

Exponentiālfunktion (Exponentialgröße), zunächst jede Funktion (s.d.) einer Veränderlichen x, welche die Form a^x besitzt, also eine Potenz mit der konstanten Basis a und dem veränderlichen Exponenten x. Aber diese Funktion ist nicht eindeutig, denn z. B. a¹/₂ = √a kann positiv oder negativ sein, und a¹/₃ = ∛a hat sogar drei verschiedene Werte. Es gibt nun eine Basis, die Zahl e, für die sich die Potenz e^x als eindeutige Funktion von x definieren läßt. Diese Zahl e ist die Grenze (s.d.), der sich der Ausdruck (1 + 1/n)ⁿ immer mehr nähert, je größer n wird, sie wird durch die unendliche Reihe 1 + ¹/₁ + ¹/_1.2 + ¹/_1.2.3 +... dargestellt, ihr Zahlenwert ist 2,7182818.... In derselben Weise ergibt sich, daß der Ausdruck (1 + x/n)ⁿ, wenn n immer größer und größer wird, als Grenzwert die unendliche Reihe (s.d.) 1 + x/1 + x²/1.2 + ... + x^m/1.2.3...m + ... besitzt, die für jede Zahl x von der Form: x = α + βi, wo α und β beliebige endliche positive oder negative Zahlen bedeuten und i = √-1 ist, unbedingt konvergiert und daher eine eindeutige Funktion von x ist für jeden endlichen komplexen Zahlenwert von x (s. Komplexe Zahlen). Nennt man diese Funktion f(x), so ergibt sich, daß die Ableitung f'(x) von f(x) (s. Differentialrechnung) wieder gleich f(x) wird. Ferner ist f(1) = e, und es läßt sich beweisen, daß für beliebige x und y die Gleichung gilt: f(x) f(y) = f(x + y), aus der für jede ganze, positive oder negative Zahl m folgt: f(m) = e^m, [f(1/m)]^m = e, f(xm) = [f(x)]^m, [f(x/m)]^m = f(x). Kurz, die Funktion f(x) stellt für jede reelle Zahl x einen der Werte dar, die sich auch aus der gewöhnlichen Erklärung der Potenz für e^x ergeben; z. B. ist f(1/2) die positive Quadratwurzel aus e, f(1/4) die positive vierte Wurzel aus e etc. Man versteht daher unter e^x immer die durch jene Reihe bestimmte Funktion von x und nennt E. im engern Sinn eben diese Reihe. Zugleich setzt man fest, daß unter (e^x)^z, also unter e^x erhoben auf die Potenz z immer der Ausdruck e^xz zu verstehen ist. Man hat dadurch den Vorteil, daß e^x für alle reellen und komplexen Werte des Exponenten x eindeutig definiert ist, und daß dasselbe auch von jeder Potenz von e^x gilt. Die Funktion e^x hat für x = 0 den Wert 1, für positives x ist sie offenbar immer positiv und wächst mit wachsendem x schließlich über alle Grenzen, für negatives x ist sie, wie die Gleichung e^x.e^-x = e⁰ = 1 zeigt, ebenfalls immer positiv. Durchläuft daher x alle negativen und alle positiven Werte, so durchläuft e^x alle positiven Werte und nimmt jeden nur einmal an, d. h. die Gleichung a = e^x hat, wenn a positiv ist, stets eine, aber auch nur eine reelle Lösung x, die für a ˂ 1 negativ ist, für a ˃ 1 aber positiv. Euler, von dem die Bezeichnung e und überhaupt diese ganze Betrachtungsweise herrührt, bemerkte, daß sich aus der Reihe für e^x wegen i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 die wichtige Gleichung ergibt: e^ix = cosx + isinx, die man nach ihm Eulersche Gleichung nennt, und aus der sofort folgt, daß für jedes x gilt: e^x+^2πi = e^x, daß also geradeso wie cosx und sinx die reelle Periode (s.d.) 2π haben, e^x die imaginäre Periode 2πi besitzt. Ist y = e^x, so nennt man x den Logarithmus von y mit der Basis e oder den natürlichen (hyperbolischen) Logarithmus von y und setzt: x = lgy oder kurz x = ly. Die vorige Gleichung zeigt, daß jede Zahl unendlich viele solcher Logarithmen hat, denn ist x ein Logarithmus von y, so ist offenbar auch jede Zahl von der Form x + 2mπi einer, wo m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da e^x für ein reelles x immer positiv ist, so ergibt sich, daß die natürlichen Logarithmen einer negativen Zahl alle imaginär sind, während jede positive Zahl a einen und nur einen reellen Logarithmus α hat, der für a = 1 den Wert Null, für a ˃ 1 einen positiven, für a ˂ 1 einen negativen Wert besitzt. Für positives a versteht man unter lga gewöhnlich diesen reellen Wert des Logarithmus. Sind α, β in diesem Sinne die Logarithmen der positiven Zahlen a b, so ist a = e^α, b = e^β, ab = e^αe^β = e^{α + β}, also lg (ab) = lga + lgb, ferner wird für jede positive oder negative Zahl c: a^c = (e^α)^c = e^α, also lga^c = c lga. Hier ist benutzt, daß man für jede positive Basis a die Potenz a^x als eindeutige Funktion von x definieren kann, indem man a mit Hilfe des vorhin erklärten reellen natürlichen Logarithmus von a, der wieder α sei, in der Form a = e^α darstellt und a^x = (e^α)^x = e^αx setzt. Auf diese Weise gelangt man auch zu den Logarithmen mit einer beliebigen positiven Basis a. Ist y = a^x und y positiv, so nennt man die reelle Lösung x der Gleichung y = a^x oder y = e^αx den Logarithmus von y mit der Basis a und schreibt das: x = ^a log y. Da αx der natürliche Logarithmus von y ist, also αx = lg y, und α = lg a, so kommt: lga.^alogy = lgy und für y = e, weil lge = 1 ist: lg a.^aloge = 1, demnach erfordert der Übergang von den natürlichen Logarithmen zu denen mit beliebiger positiver Basis a oder umgekehrt nur die Berechnung von lga oder von ^alog e. Aus den frühern Gleichungen für die natürlichen Logarithmen eines Produktes ab und einer Potenz a^c ergeben sich zugleich für die Logarithmen mit der positiven Basis a die Rechnungsregeln:

^alog (bc) = ^alogb + ^alogc; ^alogb^k = k.^alogb,

wo b, c beliebige positive Zahlen sind, k eine beliebige positive oder negative Zahl. Über das Rechnen mit Logarithmen s.d. Genaueres über die E. findet man in jedem Lehrbuch der Differentialrechnung (s.d.).