Zahlentheorie

Zahlentheorie, ein Teil der Arithmetik, beschäftigt sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und überhaupt mit allen den mathematischen Aufgaben, die man sich stellen kann, sobald keine andern Zahlen als ganze (positive oder negative) zugelassen werden (s. Diophantische Gleichungen). Die Z. ist dadurch merkwürdig, daß viele ihrer Sätze, so einfach sie aussehen, ungemein schwer zu beweisen sind. Hat man z. B. zwei relative Primzahlen a und b, so gilt der Satz, daß es unendlich viele ganzzahlige Werte von x gibt, für die der Ausdruck: a x+b eine Primzahl wird. Nachdem viele Mathematiker vergeblich versucht hatten, diesen Satz zu beweisen, gelang es Dirichlet, einen Beweis zu finden, aber nur unter Benutzung aller Hilfsmittel der neuern Analysis. Die grundlegenden Sätze der Z. über die Teilbarkeit der Zahlen finden sich schon bei Euklid. Durch die Ausstellung einer großen Anzahl schöner zahlentheoretischer Sätze, die aber zum Teil noch der Beweise harren, ist Fermat bekannt geworden, der z. B. schon die Lösung der sogen. Pellschen Gleichung (s. Diophantische Gleichungen) besaß. Für den systematischen Aufbau der Z. hat namentlich Euler sehr viel getan, der unter anderm die Theorie der quadratischen Reste erledigte (man sagt, die ganze Zahl a ist ein quadratischer Rest von p, wenn es eine ganze Zahl c gibt, deren Quadrat c² bei der Division mit p denselben Rest liefert wie a). Dann ist zu nennen Legendre, besonders aber Gauß, der unter anderm die Theorie der quadratischen Formen (so nennt man einen Ausdruck: ax²+2bxy+cy², wo a, b, c gegeben und x, y unbestimmte ganze Zahlen sind) zum Abschluß brachte, ferner Jacobi, Dirichlet, Tschebyschew, Kronecker, Dedekind u. a. In neuerer Zeit hat man auch angefangen, die Vorstellungen und Sätze der Geometrie für die Z. zu verwenden (vgl. Minkowsky, Geometrie der Zahlen, Leipz. 1896). Empfehlenswerte Lehrbücher sind: Legendre, Théorie des nombres (3. Ausg., Par. 1830; deutsch von Maser, Leipz. 1893, 2 Bde.); Tschebyschew, Theorie der Kongruenzen (1849, russ.; deutsch von Schapira, Berl. 1889); Dirichlet, Vorlesungen über Z. (bearbeitet und vermehrt von Dedekind, 4. Aufl., Braunschw. 1894); Bachmann, Zahlentheorie (Leipz. 1892–1905, 5 Bde.), Niedere Z. (das. 1902, Bd. 1), und Grundlehren der neuern Z. (das. 1907); Sommer, Vorlesungen über Z. (das. 1907).