Diophantische Gleichungen

Diophantische Gleichungen, nach dem griech. Mathematiker Diophantos (s. d.) benannte Aufgaben, bei denen nur ganzzahlige Werte der Unbekannten als Lösungen zugelassen werden. Die Anzahl der Unbekannten muß dabei mindestens um Eins größer sein als die Anzahl der Gleichungen. Am einfachsten sind die Diophantischen Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten; sie haben die Form: ax+by = c, wo a, b, c gegebene ganze Zahlen sind. Soll eine solche Gleichung durch ganzzahlige Werte von x und y befriedigt werden, so ist notwendig, daß jeder gemeinschaftliche Teiler von a und b, also jede ganze Zahl i, durch die a und b beide teilbar sind, auch ein Teiler von c ist; denn wären a und b durch f teilbar, c aber nicht, so wäre ax+by für alle ganzzahligen Werte von x und y durch f teilbar und könnte daher niemals gleich c werden. Ist diese notwendige Bedingung erfüllt, so kann man die ganze Gleichung durch den größten gemeinschaftlichen Teiler von a und b dividieren, oder, was auf dasselbe hinauskommt, man kann von vornherein annehmen, daß a und b keinen andern gemeinschaftlichen Teiler haben als die Zahl 1. Unter dieser Voraussetzung hat dann die Gleichung: ax+by = c sogar unendlich viele Lösungen, von denen man aber nur eine aufzusuchen braucht, denn ist x = x₀, y = y₀ eine Lösung, also ax₀+by₀ = c, so ergibt sich a(x-x₀)+b(y-y₀) = 0, und daraus folgt, daß alle andern Lösungen in der Form: x = x₀+bρ, y = y₀-aρ enthalten sind, wo ρ eine beliebige ganze Zahl ist. Man kunn zu den Lösungen der Gleichung: ax+by = c auf folgendem Wege gelangen: Ist b kleiner als a, so erhält man, indem man mit b in a dividiert: a = b.α+a₁, wo α und a₁, ganze Zahlen sind und a₁ kleiner als b ist, ebenso erhält man: c = bγ+c₁, wobei c₁ kleiner als c ist. Die Gleichung läßt sich jetzt schreiben: b(αx+y-γ)+a₁x = c₁, oder wenn man y = y₁-αx+γ setzt: by₁+a₁x = c₁. Das ist eine neue Diophantische Gleichung, in welcher der Koeffizient von y₁ wieder b ist, der Koeffizient von x aber kleiner als b, und es ist klar, daß man alle ganzzahligen Lösungen der ursprünglichen Gleichung angeben kann, wenn man alle ganzzahligen der neuen kennt. Behandelt man die neue Gleichung genau so wie die ursprüngliche, so kommt man auf eine neue Gleichung von der Form: b₁y₁+a₁x = c₂, wo b₁ < a₁ ist, und da man es mit endlichen ganzen Zahlen zu tun hat, kommt man schließlich, nachdem man das Verfahren eine gewisse Anzahl von Malen wiederholt hat, auf eine Gleichung von der Form: a´u+v = c´, deren Lösungen man sofort angeben kann, da jeder ganzzahlige Wert von u auch für v einen ganzzahligen Wert liefert. Die Diophantischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Unbekannten können, von gewissen Ausnahmen abgesehen, auf die Form: ax²+2bxy+cx² = f gebracht werden, wo a, b, c, f ganze Zahlen sind, und wo man voraussetzen kann, daß a, b, c keinen gemeinsamen Teiler haben. Die linke Seite: ax²+2by+cy² der Gleichung nennt man eine quadratische Form, und jede ganze Zahl f, für welche die gegebene Gleichung ganzzahlige Lösungen x und y besitzt, nennt man durch diese quadratische Form darstellbar, und jede solche Lösung x, y nennt man eine Darstellung der Zahl f durch die Form. So ist jede ganze Zahl, die durch 4 dividiert den Rest 1 ergibt, durch die Form: x²+y² darstellbar, z. B. 29 = 2²+5², 41 = 4²+5² etc. In der Theorie der quadrat. Form: ax²+2bxy+cy² ist besonders wichtig der Ausdruck: b²-ac, den man nach Gauß die Determinante der Form nennt und mit D bezeichnet. Ist D negativ, so kann es für eine gegebene ganze Zahl f stets nur eine endliche Anzahl von Darstellungen durch die quadratische Form geben; ist aber D positiv, so kann es unendlich viele solche Darstellungen geben. Aus diesem Grund ist die Theorie der Formen mit negativer Determinante viel einfacher als die der Formen mit positiver. Unter den unendlich vielen Formen mit der positiven Determinante D ist die einfachste diese: x²-Dy², und die Aufgabe, alle Darstellungen der Zahl 1 durch diese Form zu finden, heißt (allerdings mit Unrecht, vgl. Konen, Geschichte der Gleichung t²-Du² = 1, Leipz. 1901) die Pellsche Gleichung: x²-Dy² = 1, nach dem englischen Mathematiker Pell (17. Jahrh.). Die Lösung dieser Pellschen Gleichung ist von großer Bedeutung für die Theorie aller Formen von der Determinante D. Hier sei nur folgendes erwähnt. Wenn man eine ganzzahlige Lösung: x = t, y = u der Gleichung kennt, wobei nur nicht t = 1, u = 0 gesetzt werden darf, so erhält man unendlich viele neue ganzzahlige Lösungen bei folgender Aufstellung: x+y√D = (t+√Du)ⁿ, x-y√D = (t-√Du)ⁿ vorausgesetzt, daß n eine beliebige positive ganze Zahl ist. Stellen die positiven ganzen Zahlen die kleinste Lösung der Pellschen Gleichung dar, so erhält man auf diese Weise sogar alle positiven Losungen, die es gibt. Das Nähere über die Diophantischen Gleichungen, und was damit zusammenhängt, findet man in den Lehrbüchern der Zahlentheorie, z. B. Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie (4. Aufl., Braunschw. 1894, 2 Bde.); Wertheim, Anfangsgründe der Zahlenlehre (das. 1902).