Reihe [1]

Reihe, in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze gebildete Folge von Größen; diese Größen nennt man die Glieder der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. Glied der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen Ausdruck bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. Glied der R. ergibt; dieser Ausdruck heißt das n te oder das allgemeine Glied der R. Die einfachsten Reihen sind die, deren Glieder eine sogen. arithmetische oder geometrische Progression bilden. Eine arithmetische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man zu dem vorhergehenden eine gewisse Zahl, und zwar immer dieselbe, addiert. Ist a das erste Glied (Anfangsglied) der R. und d die zu addierende Zahl (die Differenz der R.), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, a+d, a+2d etc., und das allgemeine (n te) Glied lautet: a+(n-1)d. Die Summe der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+¹/₂n(n-1)d = ¹/₂n(a+t), wenn t das nie Glied ist. Eine arithmetische Progression bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die Summe der n = 100 ersten Zahlen ist daher: ¹/₂100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Progression, so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter Ordnung, aus der man durch Wiederholung dieses Verfahrens solche von dritter und höherer Ordnung ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen Reihen bezeichnet man als solche erster Ordnung. Eine geometrische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. Ist a das erste Glied und e diese Zahl (der Exponent der Progression), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, ae, ae² etc., und ae^n-1 ist das allgemeine (nte) Glied. Die Glieder der R. nehmen fortwährend zu oder fortwährend ab, sie bilden eine steigende oder eine fallende Progression, je nachdem e größer oder kleiner als 1 ist. Für die Summe der n ersten Glieder der R. ergibt sich der Wert; a(eⁿ-1)/(e-1). Verlangt man z. B., wie es der sagenhafte Erfinder des Schachspiels als Belohnung für seine Erfindung von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste Feld des Schachbrettes ein Korn gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende Feld doppelt so viel Körner als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) Feld 2⁶³, d. h. 9,223372,036854,775808 Körner, und die Gesamtzahl aller Körner wird: 2⁶⁴-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen Progressionen besonders in der Zinseszinsrechnung (s. d.). In der höhern Mathematik spielen besonders die unendlichen Reihen eine große Rolle, das sind Reihen, die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes Glied einer solchen R. durch den Buchstaben a, an den wir als sogen. Index (Zeiger) die Zahl anhängen, die die Nummer des Gliedes angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a₁, a₂, a₃ etc. und a., wird das n te Glied, wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine Summe hat, d. h. ob die Summe aller Glieder der R.: a₁+a₂+a₃+etc. bis ins Unendliche einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »Summe« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als Summe der unendlichen R.: a₁, a₂, a₃ etc. den Grenzwert, dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s₁ = a₁, s₂ = a₁+a₂, s₃ = a₁+a₂+a₃, etc., s_n = a₁+a₂+a₃+etc. bis +a_n immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der Summe 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen Grenzwert, und ist dieser endlich, so heißt die R. konvergent, ist dagegen der Grenzwert unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen Grenzwert, so heißt die R. divergent. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae² etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die Summe s_n ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: s_n = a(eⁿ-1)/(e-1), einen Ausdruck, der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle Grenzen wächst und mithin dem Grenzwert Unendlich zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich s_n in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)eⁿ geschrieben werden kann, wo das Glied: a/(1-e)eⁿ für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein Grenzwert von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die Summe einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die Summe einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte Summe hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten Reihen, doch ist es in den meisten Fällen keine leichte Aufgabe, zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche Reihen findet man in den Lehrbüchern der höhern Analysis und der Differentialrechnung. Vgl. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübing. 1889).